значение
Наибольшее
значение
Наименьшее
Точка максимума
Точка минимума
Задачи на нахождение точек экстремумафункции решаются по стандартной схеме в 3 шага.
Шаг 1 . Найдите производную функции
- Запомнитеформулы производной элементарных функции и основные правила дифференцирования, чтобы найти производную.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Шаг 2 . Найдите нули производной
- Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Шаг 3 . Найдите точки экстремума
- Используйте метод интервалов, чтобы определить знаки производной;
- В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а вточке максимума – с плюса на минус.
Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:
Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19.
1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Решим уравнение y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Производная положительная при x>9 и x<−9 и отрицательная при −9 Как искать наибольшее и наименьшее значение функции
Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функциинеобходимо
: Во многих задачах помогаеттеорема
: Если на отрезке только одна точка экстремума, причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение. 14. Понятие и основные свойств неопределённого интеграла. Если функция f
(x
X
, и k
– число, то Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f
(x
) и g
(x
) имеют первообразные на промежутке X
, то Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция f
(x
) имеет первообразную на промежутке X
, то для внутренних точек этого промежутка: Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f
(x
) непрерывна на промежутке X
и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла
. Выражение вида называется интегралом от функции f(x)
, где f(x)
- подынтегральная функция, которая задается (известная), dx
- дифференциал x
, с символом всегда присутствует dx
. Определение.
Неопределенным интегралом
называется функция F(x) + C
, содержащая произвольное постоянное C
, дифференциал которой равенподынтегральному
выражению f(x)dx
, т.е. Напомним, что -дифференциал функции
и определяется следующим образом: Задача нахождения неопределенного интеграла
заключается в нахождении такой функции, производная
которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю. Например, известно, что , тогда получается, что Задача нахождение неопределенного интеграла
от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами,
должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы.
Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы
от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях. 15.Таблица основных неопределённых интегралов. Основные формулы
16. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смыл интеграла. Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия. 1. С помощью точек х 0 =а, x 1, х 2, ..., х n = В (х 0 2. В каждом частичном отрезке , i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с i є и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с i). 3. Умножим найденное значение функции ƒ (с i) на длину ∆x i =x i -x i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с i) ∆х i. 4. Составим сумму S n всех таких произведений: Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0. Если при этом интегральная сумма S n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом, Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) - подынтегральной функцией, ƒ(х) dx - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [а; b] - областью (отрезком) интегрирования. Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла. Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2). 1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования: Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции. 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Для любого действительного числа с. 17. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Пусть функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
и F(x)
- одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница
: Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления
. Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Если функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
, то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства: Перепишем это равенство в виде Вычислим F(a)
, используя первое свойство определенного интеграла: Приращение функции принято обозначать как Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x)
подынтегральной функции y=f(x)
на отрезке
и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения. Пример.
Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Решение.
Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке
, следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл). Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: 18. Геометрические приложения определенного интеграла. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление объема тела Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений: Объем тела вращения: ; . Пример 1
. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=sinx, прямыми Решение:
Находим площадь фигуры: Пример 2
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение:
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений Отсюда находим x 1 =0, x 2 =2,5.
19. Понятие дифференциальных управлений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциа́льное уравне́ние
- уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, Дифференциальные уравнения в частных производных
(УРЧП) - это уравнения, содержащие неизвестныефункции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: где - независимые переменные, а - функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка. Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить налинейные
и нелинейные
. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n
-го порядка: где p i
(x
) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r
(x
) в правой части называется свободным членом
(единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
. Подклассом линейных уравнений являются однородные
дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r
(x
) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными
дифференциальными уравнениями. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора · - однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и - произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3. · Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения где m
- масса тела, x
- его координата, F
(x
, t
) - сила, действующая на тело с координатой x
в момент времени t
. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы. · Дифференциальное уравнение Бесселя - обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя. · Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: В следующей группе примеров неизвестная функция u
зависит от двух переменных x
и t
или x
и y
. · Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка: · Одномерное волновое уравнение - однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если - отклонение струны в точке с координатой x
в момент времени t
, а параметр a
задаёт свойства струны: · Уравнение Лапласа в двумерном пространстве - однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики: · Уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны: 20. Дифференциальные уравнения с разделяющимся применимыми. Линейные уравнения и метод Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
Целая степень. Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Как отмечалось в статье об однородных уравнениях
, если по условию требуется найти только частное решение, то функция по понятной причине нас не колышет, но вот когда требуется найти общее решение/интеграл, то необходимо проследить, чтобы эту функцию не потерять! Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой. Пример 1
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию. Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе сзадачей Коши
. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в 2-х уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае. Решение:
Данный диффур имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли 1°. Определение экстремума функции. Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух
переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой
переменной. Пусть функция z
=
f
(x
; у)
определена в
некоторой области D
,
точка N
(x
0 ;
y
0)
D
. Точка (x
0 ;
y
0)
называетсяточкой максимума
функции z
= f
(x
;
y
),
если существует
такая -окрестность точки (x
0 ;
y
0),
что для каждой точки (х;у),
отличной от (x
0 ;
y
0)
из этой окрестности выполняется
неравенство f
(x
;
y
) <
f
(x
0 ;
y
0).
На рисунке 12: N
1 -
точка максимума, a
N
2
-
точка минимума функции z
=
f
(x
;
y
).
Аналогично определяетсяточкаминимума
функции: для всех точек (x
0 ;
y
0),
отличных от (x
0 ;
y
0),
из d
-окрестности
точки (x
0 ;
y
0)
выполняется неравенство: f
(x
0 ;
y
0) >
f
(x
0 ;
y
0).
Аналогично определяется экстремум функции трех и большего
числа переменных. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом
{минимумом)
функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции
лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный
(местный) характер: значение функции в точке (x
0 ;
y
0)
сравнивается с ее значениями в точках,
достаточно близких к (x
0 ;
y
0).
В области D
функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. 2°. Необходимые условия экстремума. Рассмотрим условия существования экстремума функции. Геометрически равенства f
"
y
(x
0 ;
y
0)
= 0 и f
"
y
(x
0 ;
y
0) =
0 означают, что в точке экстремума
функции z
= f
(x
;
у)
касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f
(x
; у),
параллельна
плоскости О ху,
т. к. уравнение касательной плоскости есть z
=
z
0
. Замечание.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция Точка, в которой частные производные первого порядка функции
z
= f
(x
;
y
)
равны нулю, т. е. f
"
x
= 0, f
"
y
=
0, называется стационарной точкой
функции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная
производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может
и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не
достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z
= ху.
Для нее точка 0(0; 0) является критической
(в ней и обращаются в ноль).
Однако экстремума в ней функция z = ху
не имеет, т. к. в достаточно
малой окрестности точки О(0;0) найдутся точки для которых z >
0
(точки I и III четвертей) и z <
0 (точки II и IV четвертей). Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной
области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному
исследованию. Стационарные точки находятся путем решения системы уравнений fх (х, у) =
0, f"у(х,у) = 0 (необходимые условия экстремума
). Система (1) эквивалентна одному уравнению df(х, у)=0.
В общем случае в точке экстремума Р(а, b)
функции f(x, у)
или df(x,
y)=0
, или df(а, b
) не существует. 3°. Достаточные условия экстремума
. Пусть Р(а; b)
- стационарная точка функции f
(х,у),
т. е. df(а, b) = 0
.
Тогда: а) если d2f (а, b) < 0
при , то f
(а, b
) есть максимум
функции f
(х, у
); б) если d2f (а, b) > 0
при , то f
(а, b
)есть минимум
функции f
(х,у
); в) если d2f (а, b)
меняет знак, то f
(а, b
)
не является экстремумом функции f
(х, у).
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть 1) если Δ > 0, то функция имеет экстремум в точке Р
(а; b)
а именно максимум, если A<0
(или С<0
), и
минимум, если A>0
(или С>0
); 2) если Δ
< 0, то экстремума
в точке Р(а; b)
нет; 3) если Δ
=0, то вопрос о
наличии экстремума функции в точке Р(а; b)
остается открытым (требуется
дальнейшее исследование). 4°. Случай функции многих переменных
. Для функции
трех и большего числа переменных необходимые условия существования экстремума
аналогичны условиям (1), а достаточные условия аналогичны условиям а), б), в)
3°. Пример
. Исследовать на экстремум функцию z=x³+3xy²-15x-12y
. Решение. Найдем частные производные и составим систему
уравнений (1): Решая систему, получим четыре стационарные точки: Найдем производные 2-го порядка и составим дискриминант Δ=AC - B²
для
каждой стационарной точки. 1) Для точки : 2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0,
A>0
. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению
функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28
. 3) Для точки : A= -6, B=-12, С= -6; Δ = 36-144
<0
. Экстремума нет. 4) Для точки Р 4: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0
.
B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28
. 5°. Условный экстремум
. В простейшем случае условным
экстремумом
функции f
(х,y
) называется максимум или минимум этой
функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0
(уравнение связи
). Чтобы найти условный экстремум функции f
(х,
у
) при наличии соотношения φ(х,у) = 0
, составляют так
называемую функцию Лагранжа
F
(x
,
y
)=
f
(x
,
y
)+
λφ
(x
,
y
),
где λ
- неопределенный
постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции.
Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений с тремя неизвестными х, у, λ
, из которой можно,
вообще говоря, определить эти неизвестные. Вопрос о существовании и характере условного экстремума
решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа для испытуемой системы значений х, у, λ
,
полученной из (2) при условии, что dх
и dу
связаны уравнением Именно, функция f
(х,y
) имеет условный
максимум, если d²F<
0, и условный минимум, если d²F>0
.
В частности, если дискриминант Δ для функции F(х,у}
в стационарной
точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f
(х,
у
), если A<
0 (или С<
0), и условный минимум, если А
> О
(или С>0
). Аналогично находится условный экстремум функции трех или
большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи
(число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится
вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется
уравнений связи. Пример.
Найти экстремум функции z
=6-4
x
-3
y
при условии, что переменные х
и у
удовлетворяют уравнению x²+y²=1
. Решение. Геометрически задача сводится к нахождению
наибольшего и наименьшего значений аппликаты z
плоскости z=6 - 4х -
Зу
для точек пересечения ее с цилиндром х2+у2=1.
Составляем функцию Лагранжа F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2
-1
). Имеем решая которую найдем: d
²
F
=2
λ
(dx
²+
dy
²).
Если и , то d
²
F
>0
, и, следовательно, в этой точке функция имеет
условный минимум. Если Таким образом, 6°. Наибольшее и наименьшее значения функции. Пусть функция z
=
f
(x
; у)
определена и
непрерывна в ограниченной замкнутой области .
Тогда она достигает в некоторых
точках
своего
наибольшего М
и наименьшего т
значений (т. н. глобальный
экстремум).
Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных
внутри области ,
или в точках, лежащих на границе области. Наибольшее значение функции Наменьшее значение функции Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные! 12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность. 12 задание бывает двух видов: Задания с ЕГЭ:
Найдите точку максимума функции Найдите точку минимума функции Задания с ЕГЭ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1] Ответ: −6
Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: 11
Выводы:
Теорема.
(необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х 1 и точка х 1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство.
Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х 1 максимум. Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство: По определению: Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x 1) £ 0. А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x 1) = 0. Для случая, если функция f(x) имеет в точке х 2 минимум теорема доказывается аналогично. Теорема доказана. Следствие.
Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум. Определение.
Критическими точками
функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю. Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно. Пример:
f(x) = ôxô Пример:
f(x) = В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ- Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю. Теорема.
(Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х 1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х 1).
Если при переходе через точку х 1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
Доказательство.
Пусть По теореме Лагранжа: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1),
где x < e < x 1 . Тогда: 1) Если х < x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Если х > x 1 , то e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично. Теорема доказана. На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: 1) Найти критические точки функции. 2) Найти значения функции в критических точках. 3) Найти значения функции на концах отрезка. 4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее. Исследование функции на экстремум с помощью
производных высших порядков.
Пусть в точке х = х 1 f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х 1 . Теорема.
Если f¢(x 1) = 0, то функция f(x) в точке х = х 1 имеет максимум, если f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Доказательство.
Пусть f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично. Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование. Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение.
Кривая обращена выпуклостью вверх
на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой
, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой
. На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения. Теорема 1.
Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство.
Пусть х 0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке. Уравнение кривой: y = f(x); Уравнение касательной: Следует доказать, что . По теореме Лагранжа для f(x) – f(x 0): , x 0 < c < x. По теореме Лагранжа для Пусть х > x 0 тогда x 0 < c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 и c – x 0 > 0, и кроме того по условию Следовательно, . Пусть x < x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b). Теорема доказана. Определение.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба
. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Теорема 2.
Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство.
1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба. 2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба. Теорема доказана. Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой. Определение.
Прямая называется асимптотой
кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю. Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой. Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых. Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x). Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой. Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b. Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N. Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте. По условию: , ÐNMP = j, . Угол j - постоянный и не равный 90 0 , тогда Тогда Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. В полученном выражении выносим за скобки х: Т.к. х®¥, то Тогда Т.к. Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0. Пример.
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота. 2) Наклонные асимптоты: Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой. Построим график функции: Пример.
Найти асимптоты и построить график функции . Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой. Найдем наклонные асимптоты: y = 0 – горизонтальная асимптота. Пример.
Найти асимптоты и построить график функции Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой. Найдем наклонные асимптоты. Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой. Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать: 1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции. 2) Точки разрыва. (Если они имеются). 3) Интервалы возрастания и убывания. 4) Точки максимума и минимума. 5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения. 6) Области выпуклости и вогнутости. 7) Точки перегиба.(Если они имеются). 8) Асимптоты.(Если они имеются). 9) Построение графика. Применение этой схемы рассмотрим на примере. Пример.
Исследовать функцию и построить ее график. Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения
функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами
кривой. Областью значений
данной функции является интервал (-¥; ¥). Точками разрыва
функции являются точки х = 1, х = -1. Находим критические точки
. Найдем производную функции Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Найдем вторую производную функции Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая Находим промежутки возрастания
и убывания
функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. -¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает Видно, что точка х = - является точкой максимума
, а точка х = является точкой минимума
. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2. Про вертикальные асимптоты
было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты
. Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x. Построим график
функции: Функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных. Определение:
Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной
, а если более одного, то – многозначной
. Определение:
Областью определения
функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Определение:
Окрестностью точки
М 0 (х 0 , у 0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию Определение:
Число А называется пределом
функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М 0 (х 0 , у 0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие Записывают: Определение:
Пусть точка М 0 (х 0 , у 0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной
в точке М 0 (х 0 , у 0), если причем точка М(х, у) стремится к точке М 0 (х 0 , у 0) произвольным образом. Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва
функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: 1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М 0 (х 0 , у 0). 2) Не существует предел . 3) Этот предел существует, но он не равен f(x 0 , y 0). Свойство.
Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x 0 , y 0 , …), такая, что для остальных точек верно неравенство f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) а также точка N 1 (x 01 , y 01 , …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) тогда f(x 0 , y 0 , …) = M – наибольшее значение
функции, а f(x 01 , y 01 , …) = m – наименьшее значение
функции f(x, y, …) в области D. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего. Свойство.
Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î существует точка N 0 (x 0 , y 0 , …) такая, что f(x 0 , y 0 , …) = m. Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль. Свойство.
Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена
в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство Свойство.
Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна
в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х 1 , y 1) и (х 2 , у 2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение.
Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать Тогда называется частной производной
функции z = f(x, y) по х. Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у. Геометрическим смыслом
частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N 0 (x 0 , y 0 , z 0) к сечению поверхности плоскостью у = у 0 . Полное приращение и полный дифференциал.
касательная плоскость Пусть N и N 0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN 0 . Плоскость, которая проходит через точку N 0 , называется касательной плоскостью
к поверхности, если угол между секущей NN 0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN 0 . Определение.
Нормалью
к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности. В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе. Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение: Уравнение нормали к поверхности в этой точке: Геометрическим смыслом
полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу). Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной. Пример.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1). Уравнение касательной плоскости: Уравнение нормали: Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Полный дифференциал функции u равен: Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176. Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части. Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. Максимумом следует называть самое большое число или самый большой предел, которого можно достигнуть. Минимум – это, как все мы прекрасно знаем, прямая противоположность максимуму, т.е. это самое маленькое число и самый маленький предел. Слова минимум и максимум, а также их производные встречаются в таких выражениях и фразах как:
Получать максимум от общения. Чтобы выучить стихотворение его нужно прочесть как минимум 3-4 раза. Максимум на что он способен, это….. У них есть как минимум два общих друга. Он получил максимальный бал. Используй возможности по-максимуму! Это тот минимум, который нужно знать. Прожиточный минимум. Минимальное атмосферное давление. Минимальные/максимальные холода за ….. лет. Вам потребуется минимум несколько часов для выполнения этой работы. Такие понятия как максимум и минимум можно встретить и в специальных научных терминах. Например, в математике есть такое понятие как максимум и минимум функции. Таким образом, максимумом в математике называется наибольшее значение функции. При этом максимальное значение функции больше всех соседних с ней значений. Максимум функции – это такое ее значение, когда сначала значение увеличивается, а затем сразу же начинает убывать, при этом она имеет максимум в том месте, где увеличение и уменьшение функции переходят от одного к другому. Минимум функции – это, соответственно, наименьшее значение функции. Первую производную функции можно считать положительной, если она поднимается вверх, когда мы увеличиваем переменную, тогда функцию можно считать положительной. Если же первая переменная при увеличении производного, убывает, то функцию следует считать отрицательной. Производная – это основное значение, которое используют при дифференциальных вычислениях (изучение производной и дифференциала, которые помогают исследовать математические функции), она может пониматься как скорость изменения функции в конкретной точке. Чем скорость больше, тем сильнее меняется функция, чем меньше, тем медленнее (это, однако, правда, только если функция положительная). Таким образом, именно скорость изменения функции в заданной точке и определяет ее наклоны и выпуклости. А переменная – это величина, которая способна менять свое значение. Ее обозначают как x или time. Переменной можно считать атрибут системы (как физической, так и абстрактной), который способен изменить свое значение. В более глобальном смысле переменной можно назвать и время, и температуру и, вообще, всю жизнь (они могут меняться). Переменная имеет множество значений, которые она способна принимать. Можно считать, что это множество и является переменной. Что касается непосредственно функции, то она должна пройти от положительного к отрицательному значению через ноль. Таким образом, при том значении переменного, которому соответствует максимум функции, ее производная будет равна нулю. Именно это свойство функции позволяет определять значения x, при которых функция достигает максимума. Однако, если мы увеличим переменную и, при этом, функция сначала увеличивается, а затем уменьшается, то функция, при изменении с отрицательного значения на положительное (пройдя через ноль), достигнет не максимального, а, наоборот, минимального значения. Хотя по логике вещей это можно было бы принять именно за максимальное значение (он находится в верхней точке функции). Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума. Таким образом, как в обычной жизни, так и в математике максимум и минимум – это две крайние противоположности, которые обозначают что-то самое большое и что-то самое маленькое.
или Функцию называют первообразной функции
. Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.
, здесь - произвольная постоянная.
.
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
где .
. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x)
на отрезке
. Таким образом, множество всех первообразных F(x)
можно записать как 
, где С
– произвольная постоянная.
, следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b)
: , то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
. Возьмем первообразную при C = 0
: .
. Прямоугольная С.К.
Функция, задана параметрически
Полярная С.К.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой
Вычисление площади поверхности вращения
не является дифференциальным уравнением.
может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника 
для случая малых амплитуд, когда y
≈ sin y
.
,
1°
имеет
максимум в точке О
(0;0), но не имеет в этой точке частных производных.
и . Составим дискриминант
Δ=AC -
B².
, Δ=AC-B²=36
-144<0
.
Значит в точке экстремума
нет.
.
. Необходимые условия дают систему
уравнений
.
,
и , то d
²
F
<0,
и, следовательно, в этой точке функция имеет
условный максимум.
Значения функции и точки максимума и минимума
Как же действовать в этих случаях?Найти точку максимума / минимума
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает - это точка максимума!
Ответ: −15
Ответ: −2
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
y y
у
. Ее наклонная асимптота у = х.
.
, т.к. b = const, то 
.
, следовательно,
.
, то 
, следовательно,
.
.
.
.
(1)
.
.
Похожие статьи
